什么是Borel集？——闭集和开集之外还有什么集合

admin 8个月前 (02-12) 阅读数 157 #实时赛事

　　Borel集是一类范围相当大的集合，包含了闭集和开集，前面已经讲过了聚点的概念，闭集就是一个集合包含了它的所有聚点。开集的定义是根据闭集来的，闭集的补集就是开集。对于空集和全集，它们既是闭集也是开集，而还有大量的点集既不是闭集也不是开集，怎么去研究它们呢？很多集合虽然不是开集和闭集，但可以用开集和闭集进行构造，Borel集正是将开集和闭集作为基本元素，通过有限或者可数的交、并运算来构造集合，为什么Borel集构造成对可数交、并封闭？这正是对应Lebesgue思想的核心，Lebesgue测度有条非常重要的性质，那就是可数可加性。在代数里面运算只涉及到有限次，而在分析里面极限的理论是其核心，微积分就建立在极限论上，极限论是无限逼近理论，所以取极限是可数无限次的运算。下面给出几种集合的详细定义。

　　定义1（闭集）：设 $E\subset R^n$ ，若 $E\supset E'$ (E'是E的所有聚点的集合)，

　　则称E为闭集（规定空集为闭集）。记 $\bar{E}=E\cup E'$ ，称 $\bar{E}$ 为E的闭包。

　　定义2（开集）：设 $G\subset R^n$ ,若 $G^c=R^n \setminus G$ 是闭集，则称G为开集。

　　定义3（内点）：设 $E\subset R^n$ ，对于 $x\in E$ ,若存在 $\delta>0$ ,使得 $B(x,\delta)\subset E$ ,

　　则x为E的内点。E的全部内点叫做E的内核。

　　定义4（边界点）：设 $E\subset R^n$ ，若x属于E的闭包但不属于E的内核，

　　则称x为E的边界点，记为 $\partial E$ 。

　　由于全集和空集都是闭集，而全集和空集互为补集，则全集和空集都是开集。闭集和开集具有不同的性质，例如有限多个闭集的并集是闭集，而无穷多个闭集的并集则不一定是闭集；有限多个开集的交集是开集，而无限多个开集的交集则不一定是开集。下面给出闭集和开集的运算性质。

　　定理1：（i）若 F_1,F_2 是 R^n 中的闭集，则其并集 $F_1\cup F_2$ 也是闭集，

　　所以有限多个闭集的并是闭集；

　　(ii)若 $\left\{ F_\alpha|\alpha\in I \right\}$ 是 R^n 中的一个闭集族，则其交集 $F= \bigcap_{\alpha\in I }^{}F_\alpha$ 是闭集。

　　证明：（i） $\overline{F_1\cup F_2}=(F_1\cup F_2)\cup (F_1\cup F_2)'$

　　 $=(F_1\cup F_2)\cup (F_1'\cup F_2')$

　　 $=(F_1\cup F_1')\cup (F_2\cup F_2')$

　　 $=\overline{F_1}\cup \overline{F_2}$

　　对于闭集 F_1,F_2 , $F_1=\overline{F_1}$ , $F_2=\overline{F_2}$ ,则

　　 $\overline{F_1\cup F_2}=\overline{F_1}\cup \overline{F_2}=F_1\cup F_2$ 。

　　(ii)对任意 $\alpha \in I$ , $F\subset F_\alpha$ ,所以对任意 $\alpha \in I$ ， $=\overline{F}\subset \overline{F_\alpha}=F_\alpha$ ,大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　于是 $\overline{F}\subset \bigcap_{\alpha\in I }^{}F_\alpha=F$ ,但 $F\subset \overline{F}$ ,所以 $F=\overline{F}$ 。

　　下面讲开集的运算性质，它与闭集有所不同。

　　定理2：（i）若 $\left\{ G_\alpha | \alpha\in I \right\}$ 是 R^n 中的一个开集族，

　　则其并集 $G=\bigcup_{\alpha \in I}^{}G_\alpha$ 是开集；

　　（ii）若 G_k(k=1,...,m) 是 R_n 中的开集，则其交集

　　 $G=\bigcap_{k=1}^{m}G_k$ 是开集；

　　（iii）若是 R^n 中的非空点集，则G是开集的充分必要条件是，

　　对于G中任一点x,存在 $\delta>0$ ,使得 $B(x,\delta)\subset G$ 。

　　证明：略。

　　可以看到，有限多个闭集的并是闭集，而有限多个开集的交是开集。下面的“Cantor闭集套定理”是关于闭集的重要定理，它就是数学分析中“闭区间套定理”的推广。

　　定理3：若 $\left\{ F_k \right\}$ 是 R^n 中的非空有界闭集列，且满足 $F_1\supset F_2\supset...\supset F_k\supset ...$ ,大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　则 $\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k\ne \phi$ 。

　　证明：略。

　　下面的定理是关于开集的重要定理，揭示出开集的构造。

　　定理4：(i)R中的非空开集是可数个互不相交的开区间的并集；

　　（ii） R^n 中的非空开集G是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

　　证明：（i）设G是R中的开集，由于开集中每个点都是内点，所以

　　对G中任一点a，存在 $\delta>0$ ,使 $(a-\delta,a+\delta)\subset G$ 。令

　　 $a'=inf\left\{ x|(x,a)\subset G \right\}$ , $a''=sup\left\{ x|(a,x)\subset G \right\}$ ,

　　(a' 可以表示 $-\infty$ ，a'' 可以表示 $+\infty$ )，所以 a'<a<a'' 且 $(a',a'')\subset G$ ,

　　对G中任意点a，确定一个区间 (a',a'') ，记作 I_a 。

　　下面证明对于G中任意点a,b，

　　 I_a=(a',a''),I_b=(b',b'') 或是重合的或是互不相交的。

　　不妨设a<b,若 $I_a\cap I_b\ne \phi$ ,则 b'<a'' 。

　　令 $min\left\{ a',b' \right\}=c,max\left\{ a'',b'' \right\}=d,$ 则

　　 $(c,d)=(a',a'')\cup (b',b'')=I_a=I_b$

　　由于R中每个开区间都含有一个有理数，由于有理数可数，

　　那么互不相交开区间必然可数。

　　(ii)略。

　　下面介绍Borel集，存在大量的点集既不是闭集也不是开集，Borel集本质上是以闭集和开集为基础构造出的点集，它包含闭集的开集，同时也包含很多既不是闭集也不是开集的点集。前面讲过闭集和开集的运算性质，有限个闭集的并集是闭集，那无限个闭集的并呢？有限个开集的交集是开集，那无限个开集的交呢？Borel集的定义正是从这里出发，Borel集的补集仍是Borel集，并且Borel集列的交并和上下极限的运算结果都是Borel集，即Borel集对交、并、补、取极限都是封闭的。现在给出Borel集的定义。

　　定义5（ $F_\sigma,G_\delta$ 集）：若 $E\subset R^n$ 是可数个闭集的并集，

　　则E为 $F_\sigma$ 集；若 $E\subset R^n$ 是可数个开集的交集，则E为 $G_\delta$ 集。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　定义6（ $\sigma$ - 代数）：设 $\Sigma$ 是集合X的一些子集构成的集合族，

　　记包含 $\Sigma$ 的最小 $\sigma$ -代数为 $\Gamma（\Sigma）$ ，称 $\Gamma（\Sigma）$ 是由 $\Sigma$ 生成的 $\sigma$ -代数。

　　定义7（Borel集）：由 R^n 中一切开集构成的开集族所生成的 $\sigma$ -代数

　　称为Borel $\sigma$ -代数，Borel $\sigma$ -代数里的元素称为Borel集。

　　关于Borel集有个重要的定理叫Baire定理。

　　定理5（Baire定理）：若 $E\subset R^n$ 是 $F_\sigma$ 集， $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$ ,(k=1,2,...),

　　若每个 F_k 都没有内点，则E也无内点。

　　证明：略。

　　我们知道全体有理数组成的集合既不是闭集也不是开集，因为有理数集的闭包是实数集，但是有理数集可以表示成可数个有理数的并，所以它是Borel集中的F型集。那全体有理数组成的集合会不会是G型集呢？根据上面的Baire定理，可以证明它不可能是G型集。用反证法，假设它是G型，则它可写成开集的可数交，它的补集无理数就是闭集的可数并，那这样实数集是有理数集和无理数集的并集，有理数集是闭集的可数并，根据假设，无理数也是闭集的可数并，而且这些闭集都无内点，根据Baire定理，实数集R也无内点，矛盾。

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